La trigonometrie du cercle
Un radian c'est quoi ?
Il s'agit du rayon que l'on va courber afin de le faire correspondre à l'arc de cercle allant d'un point du cercle et de la longueur du rayon.
- $2\pi r $ = la circonference du cercle = $360 ° $ = $ 2 \pi rad $
- $\pi r $ = la moitié de la circonference du cercle = $180 ° $ = $ \pi rad $
Ce qui nous amène à penser que si : $$2\, \pi\, rad = 360^{\circ}$$ $$\pi\, rad = 180^{\circ}$$
Alors les équations suivantes sont également vraies : $$1\, radian = \frac{180}{\pi} = 57.2957795131 \,degrees$$ $$1\, degree = \frac{\pi}{180} = 0.01745329251 \, radian $$
Cosinus
Le $cosinus$ est un segment dont le point de depart est l'origine et se terminant en un point se situant sur l'axe des abscisses à l'intérieur du cercle.
Il est compris dans le diamètre du cercle.
La notion de $cosinus$ n'a de sens que pour retrouver la valeur d'un angle ou la longueur d'un arc de cercle.
Pour cela on utilisera l'$arccos$.
Par exemple dans un cercle de rayon 2, le $cos(1)$ se situera à la moitié de ce rayon du côté positif des abscisses.
Sur l'image ci-dessous, on a les points suivants en rose : $$A(0, 0)$$ $$B(1, 0)$$ $$C(1, \sqrt{3})$$ $$D(0, \sqrt{3})$$
Le segment $[AB]$ represente le $cosinus$ de l'angle $\hat{BAC}$.
Ce dernier vaut $60^{\circ}$.
Pour plus de simplicite, dénommons cet angle $\theta$ represente par la lettre grecque theta ($\theta$).
Donc l'angle $\theta$ vaudra $cos(\theta)$ soit : $$cos(\theta) = \frac{cote\,adjacent}{hypothenuse}$$ Soit : $$cos(\theta) = \frac{1}{2}$$
Ceci nous donne un nombre qui est compris entre -1 et 1.
Donc $$-1 < cos(\theta) < 1$$
Dans notre cas pratique, on a : $$cos(\theta) = \frac{1}{2} = 0.5$$
Cette valeur n'a en soit aucune signification.
Cependant, c'est en utilisant la formule de $arccos$ qu'elle va prendre toute sa signification.
En effet en utilisant une calculatrice et en mettant le mode Deg (et non Rad), on obtiendra ceci : $$arccos(0.5) = \color{red}{\boxed{\color{black}{ 60^{\circ} }}}$$
Ou encore : $$cos(60) = \color{red}{\boxed{\color{black}{ 0.5 }}}$$
Pour aller plus loin, si on a un angle de $60^{\circ}$ dans un triangle rectangle, alors l'autre cote est egal a $30^{\circ}$.
En effet : $90 + 60 + 30 = 180$.
Ainsi on peut demontrer que : $$arcsin(0.5) = \color{red}{\boxed{\color{black}{ 30^{\circ} }}}$$
Ou encore que : $$sin(30) = \color{red}{\boxed{\color{black}{ 0.5 }}}$$
Et si on veut connaitre la valeur de cet arc de cercle, en radian donc, on devra le convertir en radian.
On sait en effet que : $$180 \, deg = \pi \, rad$$
Donc que : $$1 \, deg = \frac{\pi}{180} \, rad$$
Et que par consequent si on veut avoir la valeur de l'arc de cercle pour $60^\circ$, il faut faire comme ceci : $$60 * 1 \, deg = 60 * \frac{\pi}{180} \, rad$$
Ce qui nous donne : $$60 \, deg = \frac{60\pi}{180} \, rad$$ $$ \Leftrightarrow 60 \, deg = \frac{1\pi}{3} \, rad $$ $$ \Leftrightarrow 60 \, deg = \frac{\pi}{3} \, rad $$
Et si on prend sa calculatrice et qu'on calcule ce que vaut $\frac{\pi}{3}$, on aura l'egalite suivante : $$ arccos(\frac{1}{2}) \, rad = \frac{\pi}{3}$$
Et pour finir, on constate que : $$ arccos(0.5) \, rad \approx 1.0471975512 \, rad = \color{red}{\boxed{\color{black}{ \frac{\pi}{3} \, rad }}}$$ $$ arccos(0.5) \, deg = \color{red}{\boxed{\color{black}{ 60 \, deg }}}$$
Ce raisonnement se retrouve a l'aide du graphique suivant :
clf(1); h=scf(1); h.figure_name="Hello :D"; title("Trigonometrie du cercle - Unit circle", "fontsize", 5); scale=2; t=[0:0.1:%pi*2]; // from 0 to 2*PI with 0.01 step x=scale*cos(t); // taking cos(t) allows to follow the circle on X axis y=scale*sin(t); // taking sin(t) allows to follow the circle on Y axis // A xstring(0,-0.3,["$A(0,0)$"]) t1=get("hdl") // gets the handle of the newly created object t1.font_foreground=6; // changes font properties t1.font_size=3; t1.font_angle = 20; // B xstring(1,-0.3,["$B(1,0)$"]) t2=get("hdl") // gets the handle of the newly created object t2.font_foreground=6; // changes font properties t2.font_size=3; t2.font_angle = 20; // C xstring(1.1,sqrt(3)-0.05,["$C(1,\sqrt{3})$"]) t3=get("hdl") // gets the handle of the newly created object t3.font_foreground=6; // changes font properties t3.font_size=3; t3.font_angle = 340; // D xstring(0.1,sqrt(3)-0.05,["$D(0,\sqrt{3})$"]) t3=get("hdl") //gets the handle of the newly created object t3.font_foreground=6; // changes font properties t3.font_size=3; t3.font_angle = 340; // sqrt(3) xstring(-0.5,sqrt(3)-0.15,["$\sqrt{3}$"]) t3=get("hdl") //gets the handle of the newly created object t3.font_foreground=1; // changes font properties t3.font_size=2; scaleNeg = -2; scalePos = +2; plot2d ( .. x,.. y,.. style=1,.. // black rect=[scaleNeg, scaleNeg, scalePos, scalePos],.. frameflag=3,.. // isometrique (perfect cercle) axesflag=4.. // scale with numbers inside the graphic ); e0=gce(); e0=e0.children(1); e0.thickness=1; ////// scale=2; t=[0:0.01:1]; // from 0 to 1 with 0.01 step x=scale*cos(t); // taking cos(t) allows to follow the circle on X axis y=scale*sin(t); // taking sin(t) allows to follow the circle on Y axis // ================================================================= // 60 // ================================================================= // ========================== 60 degrees - arc of a circle near (0,0) plot2d ( .. x/8,.. y/8,.. style=1,.. // black rect=[scaleNeg, scaleNeg, scalePos, scalePos],.. frameflag=3,.. // isometrique (perfect cercle) axesflag=4.. // scale with numbers inside the graphic ); e0=gce(); e0=e0.children(1); e0.thickness=1; // ========================== 60 degrees - arc of a circle bottom plot2d ( .. (x/5)-1,.. (y/5)-(sqrt(3)),.. style=1,.. // black rect=[scaleNeg, scaleNeg, scalePos, scalePos],.. frameflag=3,.. // isometrique (perfect cercle) axesflag=4.. // scale with numbers inside the graphic ); e0=gce(); e0=e0.children(1); e0.thickness=1; // 60 degrees - 1 xstring(0.25,0.05,["$60^{\circ}$"]) // 60 degrees - 2 xstring(-0.6,-sqrt(3)+0.15,["$60^{\circ}$"]) // sqrt(3) xstring(1,0.7,["$\sqrt(3)$"]) xstring(1,-0.9,["$\sqrt(3)$"]) // 2 xset("font",1,2); xstring(0.45,0.8,["$2$"], -70) xset("font",1,2); xstring(-0.45,-0.8,["$2$"], -70) xset("font", 1, 1); // ================================================================= // 90 // ================================================================= // ========================= 90 degree - square 1 squareX=0.8; squareY=0.17; xs=[[squareX, squareX] , [squareX, 1]], ys=[[0, squareY] , [squareY, squareY]]; plot2d(xs, ys); es=gce(); es=es.children(1); es.thickness=1; // ========================= 90 degree - square 2 squareX=0.8; squareY=-sqrt(3); xs=[[squareX, squareX] , [1, 1]], // from every X1 to X2 ys=[[squareY, squareY + 0.2] , [squareY + 0.2, squareY + 0.2]]; // from every Y1 to Y2 plot2d(xs, ys); es=gce(); es=es.children(1); es.thickness=1; // 90 degrees xstring(0.6,0.2,["$90^{\circ}$"]) xstring(0.6,-1.55,["$90^{\circ}$"]) // ================================================================= // 30 // ================================================================= // =========================== 30 degrees - arc of circle // 60 * (pi/180) = pi/3. So pi radian divided by three. scale=2; t=[(%pi/3)+%pi:0.01:(3/2)*(%pi)]; // 0.01 step x=scale*cos(t); // taking cos(t) allows to follow the circle on X axis y=scale*sin(t); // taking sin(t) allows to follow the circle on Y axis plot2d ( .. (x/4)+1,.. (y/4)+1.7,.. // place the arc of circle at the right area style=1,.. // black rect=[scaleNeg, scaleNeg, scalePos, scalePos],.. frameflag=3,.. // isometrique (perfect cercle) axesflag=4.. // scale with numbers inside the graphic ); es=gce(); es=es.children(1); es.thickness=1; // ============================ 30 degrees text xstring(0.73,1,["$30^{\circ}$"]) // ================================================================= // Arc of circle // ================================================================= // =========================== Yellow arc // 60 * (pi/180) = pi/3. So pi radian divided by three. scale=2; t=[0:0.01:(%pi)/3]; // 0.01 step x=scale*cos(t); // taking cos(t) allows to follow the circle on X axis y=scale*sin(t); // taking sin(t) allows to follow the circle on Y axis xset("line style", 1); // all lines are normal xset("font",1,4);xstring(1.8,0.9,["$\frac{\pi}{3}$"], 0); xset("font",1,1);// font normal plot2d ( .. (x),.. (y),.. // place the arc of circle at the right area style=color(0, 0, 0),.. // color rect=[scaleNeg, scaleNeg, scalePos, scalePos],.. frameflag=3,.. // isometrique (perfect cercle) axesflag=4.. // scale with numbers inside the graphic ); es=gce(); es=es.children(1); es.thickness=4; xset("line style", 7); // all lines are dashed // ================================================================= // Lines // ================================================================= // Line RED: x = 1 with radius of circle = 2, so y = sqrt(3) x=[1,1]; y=[-sqrt(3),sqrt(3)]; plot2d(x,y,style=5); e1=gce(); e1=e1.children(1); e1.thickness=2; x=[-1,-1]; y=[-sqrt(3),sqrt(3)]; plot2d(x,y,style=5); e1=gce(); e1=e1.children(1); e1.thickness=2; // Line GREEN: x = 0 to 1, y = 0 to sqrt(3) x=[-1,1]; y=[-sqrt(3),sqrt(3)]; plot2d(x,y,style=3); e2=gce(); e2=e2.children(1); e2.thickness=4; // Line BLUE: x = 0 to 1, y = sqrt(3) x=[-1,1]; y=[sqrt(3), sqrt(3)]; plot2d(x,y,style=2); e3=gce(); e3=e3.children(1); e3.thickness=2; x=[-1,1]; y=[-sqrt(3), -sqrt(3)]; plot2d(x,y,style=2); e3=gce(); e3=e3.children(1); e3.thickness=2; // Line CROSSES x=[1:1]; y=[sqrt(3)]; plot2d(x, y, style=-2); e4=gce(); e4=e4.children(1); e4.thickness=1; x=[0:0]; y=[sqrt(3)]; plot2d(x, y, style=-2); e5=gce(); e5=e5.children(1); e5.thickness=1; x=[1:1]; y=[0:0]; plot2d(x, y, style=-2); e6=gce(); e6=e6.children(1); e6.thickness=1; x=[0:0]; y=[0:0]; plot2d(x, y, style=-2); e7=gce(); e7=e7.children(1); e7.thickness=1;
Sinus
C'est la même chose que le cosinus mais sur l'axe des ordonnées.
Le sinus est un point se situant sur l'axe des ordonnées à l'intérieur du cercle.
Il est compris dans le diamètre du cercle.